MENGAJAR STRUKTUR MATEMATIKA: BRUNER DAN REPRESENTASI KOGNITIF KONSEP-KONSEP MATEMATIS (BAG VII)

K.    Penerapan Representasi pada Pembelajaran Matematika  Siswa Sekolah Dasar Kelas 3 dan Kelas 5

Representasi digunakan secara luas dalam bidang kajian matematika karena representasi membantu untuk mengembangkan, berbagi, dan menyajikan pikiran matematis kita. Representasi membantu dalam menggambarkan, menjelaskan atau memperluas ide-ide matematis dengan memfokuskan pada sifatnya yang penting (NCTM, 2000, hal 206).

Representasi matematika berarti beragam cara untuk menangkap konsep-konsep atau hubungan matematis yang abstrak. Representasi matematika bisa nampak terlihat seperti kalimat bilangan, tampilan material matematis yang manipulatif, atau grafik tetapi representasi juga berarti cara internal untuk melihat dan berpikir tentang ide-ide matematis. Tanpa memperhatikan bentuk-bentuk representasinya, representasi dapat meningkatkan kemampuan komunikasi siswa, kemampuan bernalar, dan problem solving; membantu siswa membuat koneksi di antara ide-ide; dan membantu siswa belajar konsep dan prosedur baru.

Menurut NCTM, standar representasi adalah:

1.      Menciptakan dan menggunakan representasi untuk mengorganisasi, merekam, dan mengkomunikasikan ide-ide matematis.

2.      Memilih, menerapkan, dan menterjemah sejumlah representasi matematis untuk menyelesaikan masalah.

3.      Menggunakan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasi fenomena matematis, fisik dan sosial.

Penggunaan representasi sebagai alat komunikasi dan berpikir maka siswa harus didorong untuk bekerja dari dasar dengan representasi. Tidak cukup siswa dapat mengikuti langkah-langkah yang dituliskan untuk membuat diagram. Siswa harus didorong secara aktif untuk mengembangkan, menginterpretasi dan mengkritisi beragam representasi. Tipe bekerja seperti ini akan membantu pemahaman yang lebih baik dan efektif, penggunaan representasi yang tepat sebagai alat matematis.    

Representasi eksternal seperti simbol, persamaan, kata-kata, gambar, tabel, grafik, manipulasi terhadap objek, dan tindakan sama baiknya dengan representasi internal (mental), yaitu cara internal berpikir tentang ide-ide matematis. Representasi merupakan alat berpikir yang kuat, meskipun ada siswa yang harus dibimbing untuk mendapatkannya.

Aktivitas merepresentasikan konsep atau hubungan dapat dihasilkan menggunakan material manipulatif seperti konstruksi grafik atau diagram, menuliskan dalam bentuk kalimat, presentasi secara lisan atau presentasi tertulis. Dalam menggunakan representasi untuk memecahkan masalah atau membuat konsep menjadi jelas, siswa suka menggunakan representasi untuk membantu menjelaskan masalah dan menggunakan masalah untuk memperluas pemahaman representasi mereka. Menurut NCTM, representasi bukan ”pertunjukan” matematika kepada siswa. Siswa merasa bekerja dengan beragam representasi secara ekstensif dalam beragam konteks sama baiknya dengan bergerak dari satu representasi ke representasi yang lain untuk memahami bagaimana mereka dapat menggunakan representasi untuk memodelkan ide-ide matematis dan hubungan.

Banyak pembelajaran matematis siswa meliputi perluasan pemahaman ide-ide matematis atau hubungan dengan berpindah dari satu representasi ke representasi yang lain terhadap hubungan yang sama. Hal ini penting bagi siswa untuk menggunakan beragam material manipulatif yang kemudian berhubungan dengan metode paper-pencil untuk memecahkan masalah. Melalui pekerjaan ini, siswa bergerak dari representasi informal menjadi lebih formal dan representasi abstrak.

Berikut ini akan disajikan kegiatan yang dapat membantu siswa kelas  3 dan 5 untuk melakukan representasi matematis  yaitu menciptakan representasi dari sejumlah data, menggunakan representasi untuk mengembangkan dan memperdalam konsep, menggunakan representasi untuk memodelkan operasi dan metode pemecahan, terjemahan diantara representasi, dan menggunakan representasi untuk mengkomunikasikan pengetahuan matematis.

Pembelajaran di kelas 3, guru memperkenalkan perkalian dengan 2 digit menggunakan tugas open-ended kepada siswa secara berpasangan. Siswa diminta membuat soal cerita berkaitan dengan hasil dari 15 x 12 dan membuat prosedur mencari jawabannya. Siswa menyarankan menggunakan konteks dan material manipulatif yang berbeda-beda. Misalnya kelompok 1 menggunakan 15 tas plastik dan masing-masing plastik berisi 12 pensil (disajikan dalam bentuk 15 persegi dengan 12 pensil tiap perseginya). Kelompok 2 menggunakan 15 tim dan masing-masing tim beranggotakan 12 pemain (disajikan dalam bentuk barisan titik). Kelompok ke-3 pertama kali bekerja mencari solusi dari 15 x 12  dan masih mencari soal cerita. Mereka menggunakan metode yang telah dikenalkan pada waktu kelas 1 yaitu menggunakan 15 menara yang masing-masing disusun dari 12 kubus dan mencari metode yang efisien untuk menghitungnya.

Metode yang digunakan untuk mencari hasilnya tergantung dari representasi yang dibuat oleh siswa. Kelompok 1 yang menggunakan pensil menambahkan 12 + 12 + 12, dst. Pada mulanya dipikirkan, namun karena banyak kemudian siswa menuliskannya.

Kelompok ke-2 dan ke-3 menguji beragam cara untuk mencari hasilnya sebelum membagi barisan titik atau menara kubus menjadi 2 bagian yaitu 10 dan 2. Awalnya mereka bekerja dengan barisan titik atau menara 10 dan mencari hasil perkalian sebagiannya, dilanjutkan dengan mencari hasil perkalian bagian yang lain yaitu 15 kali 2.

Ketika siswa telah menemukan sendiri suatu cara untuk menunjukkan hubungan 15 x 12 menggunakan material, gambar, atau diagram, mereka telah menggunakan pikirannya untuk membantu pemahamannya tentang operasi perkalian. Setelah beragam representasi  dari masalah didiskusikan, kesamaan-kesamaan struktur matematis masing-masing representasi disoroti. Contohnya, pada kelompok ke-3 menggunakan 15 menara dengan tiap menara terdiri dari 12 kubus sama dengan kelompok ke-2 yang menggunakan 15 tas dan tiap tas terdiri dari 12 pensil. Selanjutnya kelompok ke-2 dan ke-3 sama-sama menyusun 12 baris dengan tiap baris terdiri dari 15 objek.

Representasi yang berbeda mendukung cara yang berbeda untuk berpikir tentang dan memanipulasi objek-objek matematis. Objek akan mudah dipahami ketika dipandang dengan beragam sudut pandang (NTCM, 2000, hal 360). Siswa diarahkan untuk mencoba representasi dari kelompok lain, berpartisipasi dalam diskusi, dan berbagi ide dengan guru dan teman. Dalam hal ini, siswa membandingkan dan mendiskusikan hubungan antar representasi sehingga siswa akan memperdalam pemahaman konsep-konsep matematisnya.

Berikut ini kerja siswa kelas 5 dalam merepresentasi data dalam bentuk grafik dan menghubungkan representasi grafik pada representasi data yang lain. Dalam melakukan aktivitasnya, siswa bekerja dengan beragam bentuk numerik representasi data untuk membuat grafik.

Diberikan data sebagai berikut:

Game	Number of Kids	Decimal	Percent
Basketball	14
Soccer	12
Kickball	20
Football	5
Baseball or Softball	9
Total Surveyed	60

Tabel 3

1. Tentukan persentase tiap kategori dan tunjukkan gambaran persentasenya
2. Demonstrasikan metode mencari persentase
3. Tentukan tipe grafik apa yang digunakan untuk menunjukkan data

Salah satu hasil kerja siswa bernama Martina adalah sebagai berikut:

Tabel 4 Hasil Pekerjaan Martina

Game	Number of Kids	Decimal	Percent
Basketball (bkt)	14	0.2333333	23
Soccer (s)	12	0.2	20
Kickball (k)	20	0.3333333	33
Football (f)	5	0.0833333	8
Baseball or Softball (b)	9	0.15	15
Total Surveyed	60	0.9999999 ≈ 1	99

Menurut jawaban Martina dalam lembar jawaban, dari 60 orang ada sebanyak 14 orang memilih basket dapat dibuat pecahan yaitu . Begitu seterusnya untuk data yang lain. Kemudian untuk menunjukkan penggambarannya, dia membuat kotak-kotak kecil seperti papan catur sebanyak 100 kotak untuk mewakili 60 orang. Menurutnya tidak mungkin 1 kotak mewakili 1 orang. Oleh karena itu dia membagi 14 dengan 60 dan di dapat 0,2333 dan dibuat persentasenya diperoleh 23%. Selanjutnya dia memberi warna merah pada 23 kotak dari 100 kotak yang ada untuk orang yang memilih basket. Jawaban Martina ini benar karena 23% dari 60 orang adalah 13,8 dan dibulatkan menjadi 14 orang. Proses itu dilakukan juga untuk kategori yang lain, kemudian dia memilih diagram lingkaran untuk menyajikan datanya.

Berdasarkan pekerjaan Martina, tugas tertulis tersebut mendorong siswa untuk berpikir tentang pecahan, desimal, persen, dan rata-rata. Martina memahami bahwa keseluruhan 100 kotak merepresentasikan total orang yang diamati (60 orang). Dia memahami bahwa 0,9999999 pada tabelnya aalah representasi numeris bilangan 1 (kira-kira sama dengan 1). Dia mulai memahami bahwa pecahan dari kelompok yang menyukai basket dapat pula direpresentasikan dalam bentuk desimal, persen. Dia membuat diagram lingkaran menunjukkan dia memahami hubungan antara persentase yang ditunjukkan dalam representasi kotak-kotak kecil dan grafik lingkaran tersebut.

Penggunaan persentase merupakan representasi yang penting untuk menganalisis data karena mudah untuk membandingkan kategori-kategori dalam 100an. Pada situasi ini persentase mudah digunakan daripada representasi desimal yang panjang. Kotak-kotak sebanyak 100 buah merupakan alat yang visual untuk membandingkan dan menganalisis data. Penggunaan representasi ini membantu anak yang kesulitan membuat hubungan antara kategori data.

Selang beberapa waktu, guru menanyakan kepada siswa diagram apa yang cocok untuk menggambarkan situasi tersebut. Beberapa anak menyatakan diagram garis, diagram Venn, diagram batang, diagram lingkaran. Farida dan Vanesa berdiskusi. Menurut Farida, grafik batang akan lebih mudah daripada lingkaran. Menurutnya dalam menggambar grafik batang dilihat dari banyaknya orang. Basket dua kali lebih banyak disukai daripada football maka grafik batangnya dibuat dua kali grafik batang football, dan karena soccer dan basket dibuat grafik batang yang sama. Farida mulanya tidak yakin dengan jawaban Martina, karena dia masih belum bisa membayangkan persentase. Farida bingung bagaimana mendapatkan 20% sama dengan  bagian untuk soccer, apakah 12 dibagi 60 sama dengan 20%. Vanessa kemudian menerangkan kepada Farida bagaimana mendapatkannya. Menurut Vanesa 12 dibagi 60 sama dengan  kemudian mengubahnya menjadi persen dengan mengalikan  didapat 20%. Berdasarkan diskusi tersebut, Farida masih belum dapat mengaitkan pecahan dengan persentase.

Persamaan (equation) adalah bentuk simbolik dari representasi. Persamaan merupakan alat komunikasi tentang hubungan dan membantu siswa mengembangkan pemahaman tambahan tentang persentase atau bilangan lain yang berkaitan dengan kuantitas sesuatu dibandingkan yang lain. Pada contoh kerja siswa yang kedua, guru meminta siswa untuk mengerjakan masalah  berikut

a.       Buatlah hubungan antara banyaknya waktu untuk keluarga dengan banyaknya waktu tidur.

b.      Buatlah pernyataan tentang diagram tersebut (termasuk persentasenya) dan tuliskan beberapa persamaan yang cocok.

Seorang anak menjawab waktu tidur (S) 56 jam dan waktu untuk keluarga (F) 14 jam; . Jadi waktu untuk tidur adalah 4 kali waktu untuk keluarga dan ditulis  S = 4F. Pernyataan ini juga identik dengan waktu untuk keluarga kali waktu untuk tidur dan ditulis F = S. Karena 4 = 4,00 = 400% dan = 25%, dikatakan lamanya waktu tidur 400% dari lamanya waktu untuk keluarga atau lamanya waktu untuk keluarga 25% dari lamanya waktu tidur. Dituliskan S = 400%F atau F=25%S.

Tipe perbandingan yang meliputi perkalian dan atau rasio disebut perbandingan relatif: nilai dibandingkan relatif terhadap keseluruhan atau terhadap nilai yang lain. Tipe perbandingan yang lain adalah perbandingan mutlak; hanya nilai mutlak yang dibandingkan. Perbandingan ini menggunakan kata-kata ”kurang dari” atau ”lebih dari”. Berdasarkan masalah di atas diperoleh waktu untuk keluarga adalah 42 jam kurang dari waktu tidur atau S – 42 = F. Waktu untuk tidur 16 jam lebih banyak dari waktu bekerja atau W + 16 = S.

Kemudian siswa diminta untuk membuat jadwal rutinitas dalam mingguan dan menggunakan perbandingan relatif dan perbandingan mutlak untuk membuat persamaannya. Ternyata jawaban siswa beragam, salah satu contohnya jawaban Andre. Jawaban Andre menggunakan perbandingan relatif, saya menghabiskan waktu untuk keluarga (F) 4 kali dibandingkan waktu untuk waktu untuk tugas rumah tangga (C), ditulis 28 = 4.7, jadi F = 4C. Jawaban Andre menggunakan perbandingan mutlak adalah, saya menghabiskan waktu 2 jam lebihnya tiap minggu untuk tugas rumah tangga (C) daripada waktu untuk olahraga (E), 8 = 2 + 6, atau C = 2 + E.

Selanjutnya siswa diminta untuk memilih pernyataan perbandingan relatif yang dibuat dan mengubah datanya dalam bentuk rasio dan dibuat persentasenya. Kemudian menggunakan persen untuk menuliskan persamaannya. Salah satu jawaban siswa adalah membandingkan banyaknya waktu untuk bersenang-senang dan banyaknya waktu untuk keluarga dibandingkan banyaknya waktu untuk bekerja: (F + L)/W =  24/52 = 46%. Persamaannya dituliskan (F + L) = 46%W dan dibaca gabungan banyaknya waktu yang dihabiskan untuk aktivitas bersenang - senang dan untuk keluarga adalah 46% dari banyaknya waktu untuk bekerja. Membuat persamaan yang pantas adalah bagian  penting menunjukkan standar representasi pada tingkat sekolah dasar.

 Tugas yang diberikan guru di atas mendorong siswa untuk menggunakan representasi. Banyaknya waktu yang diluangkan untuk beragam aktivitas pada awalnya direpresentasikan dalam bentuk banyaknya jam. Banyaknya jam–jam masing-masing aktivitas mudah dibandingkan dengan pengurangan diobservasi seperti banyaknya waktu yang diluangkan untuk bersenang-senang 2,5 lebih banyak daripada banyaknya waktu untuk mengerjakan tugas rumah tangga. Pecahan dan persen juga dapat digunakan untuk merepresentasikan hubungan. Persen yang digunakan mengindikasikan banyaknya  waktu masing-masing pekerjaan relatif terhadap keseluruhan (dalam 1 minggu) daripada terhadap banyaknya waktu mutlak.

Persentase dan pecahan dapat ditunjukkan dengan menggunakan bagian dari daerah persegi yaitu grafik kotak-kotak. Tipe grafik ini adalah representasi visual dimana daerah untuk tiap kategori adalah bagian yang proporsional dari keseluruhan daerah persegi. Grafik keseluruhan – bagian membantu menunjukkan bahwa pecahan (seperti 20/120) dan persentase (17%) merepresentasikan jumlah yang sama terhadap persentase keseluruhan. Manfaat dari grafik keseluruhan – bagian adalah daerah – daerah untuk masing-masing kategori dapat dibandingkan meskipun kita tidak mengetahui jumlahnya. Misalnya rasio numeris E:C sama dengan rasio daerah bagian E terhadap daerah C.

Masalah di atas membantu siswa mengembangkan pemahaman tentang diagram lingkaran. Grafik kotak-kotak membantu merekam data tetapi tidak menghasilkan representasi yang mudah untuk dianalisis atau dibandingkan dengan yang lain seperti himpunan data. Persentase grafik kotak-kotak lebih mudah dibandingkan menggunakan diagram lingkaran. Grafik kotak-kotak dan diagram lingkaran berguna ketika seluruh data berasal dari kategori yang terpisah yang merepresentasikan semua kemungkinan bagi suatu survei keseluruhan, populasi atau himpunan data. Persentase kedua grafik ini memberikan perhatian pada penggambaran ukuran relatif bagian-bagian yang berbeda. Kuantitas masing-masing kategori dibandingkan dengan keseluruhannya direpresentasikan dengan persen, pecahan, atau desimal.

Penggunaan pernyataan verbal dan persamaan membantu siswa menganalisis data. Pernyataan verbal dan persamaan menyarankan penggunaan persentase dalam pernyataan yang bermakna. Pada contoh sebelumnya, bagian-bagian dari data dibandingkan dengan rasio kemudian persentasenya dapat dicari. Persentase menjadi bermakna ketika dituliskan dalam pernyataan tentang data, misalnya saya meluangkan waktu untuk tidur 71% dari waktu untuk bekerja, daripada hanya dituliskan dalam bentuk rasio W:S = 40 : 56.  

 L.     Penutup

Pembelajaran matematika dewasa ini diarahkan agar anak mampu mengkonstruksi pengetahuannya sendiri. Anak diberi kesempatan seluas-luasnya untuk mengembangkan representasi matematis yang disukainya dalam menyelesaikan masalah matematis secara individual maupun kelompok. Anak juga diberi kesempatan untuk meningkatkan level kemampuan representasi matematisnya. Oleh karena itu, guru harus benar-benar memahami representasi matematis dan penggunaannya dalam pembelajaran matematika serta menggunakan beragam representasi eksternal dalam pembelajaran. Demikian pula guru harus memahami proses konstruksi dan internalisasi konsep-konsep matematis sehingga dalam pembelajaran akan dapat membantu mengarahkan siswa dalam mengkonstruksi pengetahuannya.

DAFTAR PUSTAKA

NCTM. 2000
Annenberg. 2009. Teaching Math Grades 3-5: Representation. http://www.learner.org diakses tanggal 26 Februari 2009